Calcule dy/dx da função x^2 · (1 + y) = y^2 · (x − 1), por derivação implícita.

Dada a equação

$x^2(1+y)=y^2(x-1).$

Derivando implicitamente em relação a $x$:

Lado esquerdo ($x^2(1+y)$): use regra do produto.

• $(x^2)'=2x$
• $(1+y)'=y'$

Então, $\frac{d}{dx}[x^2(1+y)] = 2x(1+y) + x^2 y'.$

Lado direito ($y^2(x-1)$): também regra do produto.

• $(y^2)'=2y\,y'$
• $(x-1)'=1$

Então, $\frac{d}{dx}[y^2(x-1)] = (2y\,y')(x-1) + y^2.$

Igualando as derivadas: $2x(1+y) + x^2 y' = 2y y'(x-1) + y^2.$

Isolando os termos com $y'$: $x^2 y' - 2y y'(x-1) = y^2 - 2x(1+y).$

Fatorando $y'$ e expandindo $2x(1+y)$: $y'\,[x^2 - 2y(x-1)] = y^2 - 2x - 2xy.$

Como $-2y(x-1)=-2xy+2y$, o denominador fica: $x^2 - 2xy + 2y.$

Logo, $y' = \frac{y^2 - 2x - 2xy}{x^2 - 2xy + 2y}.$

Alternativa correta: (A).