Considere o conjunto V de todas as matrizes quadradas de ordem 2 (M2). Esse conjunto poderia ser representado por uma matriz 2x2 cujos elementos são a, b, c e d, onde a, b, c e d são números reais quaisquer. Podemos então afirmar que:

O conjunto $V=M_2(\mathbb{R})$ é o conjunto de todas as matrizes quadradas $2\times 2$ com entradas reais, isto é, matrizes do tipo $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ com $a,b,c,d\in\mathbb{R}$.

Para ser espaço vetorial sobre $\mathbb{R}$, em particular, precisa ser fechado para:

1. Soma: se $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}$ estão em $V$, então

$$A+B=\begin{pmatrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end{pmatrix}$$

Como soma de reais é real, $a+e, b+f, c+g, d+h\in\mathbb{R}$, logo $A+B\in V$.

2. Produto por escalar: se $\lambda\in\mathbb{R}$ e $A\in V$, então

$$\lambda A=\begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b \\ \lambda c & \lambda d \end{pmatrix}$$

Como produto de reais é real, $\lambda a,\lambda b,\lambda c,\lambda d\in\mathbb{R}$, logo $\lambda A\in V$.

Portanto, $V$ é fechado para soma e para multiplicação por escalar (e, de fato, satisfaz os demais axiomas usuais), então é um espaço vetorial.