Uma função f é definida pela equação f(x)=p(x)/q(x) em que p(x) e q(x) são funções polinomiais e q(x) é diferente de zero. Outro aspecto relevante da função racional é que ela é chamada de própria se o grau de p(x) é estritamente menor que o grau de q(x), e imprópria caso contrário. Suponha que você tenha sido contratado para realizar uma análise econômica para um supermercado. Você recebeu a informação de que no dia primeiro de janeiro de 2018 foi lançado um novo produto nesse supermercado; estima-se que ao fim de t meses, ele detenha uma porcentagem do mercado (dentro dos produtos similares vendidos nesse supermercado), a qual pode ser expressa pela seguinte função: Sendo assim, você deverá responder ao contratante: a) Qual é a porcentagem de mercado que esse produto atingiu no final do primeiro trimestre? b) A partir de que mês esse produto terá 70%, ou mais, do mercado?

Questão

Uma função f é definida pela equação f(x)=p(x)/q(x) em que p(x) e q(x) são funções polinomiais e q(x) é diferente de zero. Outro aspecto relevante da função racional é que ela é chamada de própria se o grau de p(x) é estritamente menor que o grau de q(x), e imprópria caso contrário.

Suponha que você tenha sido contratado para realizar uma análise econômica para um supermercado. Você recebeu a informação de que no dia primeiro de janeiro de 2018 foi lançado um novo produto nesse supermercado; estima-se que ao fim de t meses, ele detenha uma porcentagem do mercado (dentro dos produtos similares vendidos nesse supermercado), a qual pode ser expressa pela seguinte função:

Sendo assim, você deverá responder ao contratante:

a) Qual é a porcentagem de mercado que esse produto atingiu no final do primeiro trimestre?

b) A partir de que mês esse produto terá 70%, ou mais, do mercado?

Imagem 1

p(t)=80−70t+1,  com t≥0p(t)=80-\dfrac{70}{t+1},\;\text{com }t\ge 0

Resposta

a) 62,5%

b) A partir do 6º mês.

Explicação

Da imagem, a porcentagem de mercado ao fim de tt meses é p(t)=80−70t+1,t≥0.p(t)=80-\frac{70}{t+1},\quad t\ge 0.

a) Final do primeiro trimestre

Um trimestre tem 3 meses, então usamos t=3t=3:

p(3)=80−703+1=80−704=80−17,5=62,5.p(3)=80-\frac{70}{3+1}=80-\frac{70}{4}=80-17{,}5=62{,}5.

Logo, ao final do 1º trimestre o produto atinge 62,5% do mercado.

b) A partir de que mês terá 70% ou mais

Queremos:

p(t)≥70.p(t)\ge 70.

Substituindo a função:

80−70t+1≥7080-\frac{70}{t+1}\ge 70 10≥70t+110\ge \frac{70}{t+1}

Como t≥0t\ge 0, então t+1>0t+1>0 e podemos multiplicar sem trocar o sinal:

10(t+1)≥7010(t+1)\ge 70 10t+10≥70⇒10t≥60⇒t≥6.10t+10\ge 70\Rightarrow 10t\ge 60\Rightarrow t\ge 6.

Portanto, a partir do 6º mês o produto terá 70% ou mais do mercado.

Alternativa correta: (não se aplica).

funcao-racionalfuncoesinequacoesmatematica
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