Uma função f é definida pela equação f(x)=p(x)/q(x) em que p(x) e q(x) são funções polinomiais e q(x) é diferente de zero. Outro aspecto relevante da função racional é que ela é chamada de própria se o grau de p(x) é estritamente menor que o grau de q(x), e imprópria caso contrário. Suponha que você tenha sido contratado para realizar uma análise econômica para um supermercado. Você recebeu a informação de que no dia primeiro de janeiro de 2018 foi lançado um novo produto nesse supermercado; estima-se que ao fim de t meses, ele detenha uma porcentagem do mercado (dentro dos produtos similares vendidos nesse supermercado), a qual pode ser expressa pela seguinte função: Sendo assim, você deverá responder ao contratante: a) Qual é a porcentagem de mercado que esse produto atingiu no final do primeiro trimestre? b) A partir de que mês esse produto terá 70%, ou mais, do mercado?
Questão
Uma função f é definida pela equação f(x)=p(x)/q(x) em que p(x) e q(x) são funções polinomiais e q(x) é diferente de zero. Outro aspecto relevante da função racional é que ela é chamada de própria se o grau de p(x) é estritamente menor que o grau de q(x), e imprópria caso contrário.
Suponha que você tenha sido contratado para realizar uma análise econômica para um supermercado. Você recebeu a informação de que no dia primeiro de janeiro de 2018 foi lançado um novo produto nesse supermercado; estima-se que ao fim de t meses, ele detenha uma porcentagem do mercado (dentro dos produtos similares vendidos nesse supermercado), a qual pode ser expressa pela seguinte função:
Sendo assim, você deverá responder ao contratante:
a) Qual é a porcentagem de mercado que esse produto atingiu no final do primeiro trimestre?
b) A partir de que mês esse produto terá 70%, ou mais, do mercado?
Resposta
97%a) 62,5%
b) A partir do 6º mês.
Explicação
Da imagem, a porcentagem de mercado ao fim de meses é
a) Final do primeiro trimestre
Um trimestre tem 3 meses, então usamos : [ p(3)=80-\frac{70}{3+1}=80-\frac{70}{4}=80-17{,}5=62{,}5. ] Logo, ao final do 1º trimestre o produto atinge 62,5% do mercado.
b) A partir de que mês terá 70% ou mais
Queremos: [ p(t)\ge 70. ] Substituindo a função: [ 80-\frac{70}{t+1}\ge 70 ] [ 10\ge \frac{70}{t+1} ] Como , então e podemos multiplicar sem trocar o sinal: [ 10(t+1)\ge 70 ] [ 10t+10\ge 70\Rightarrow 10t\ge 60\Rightarrow t\ge 6. ] Portanto, a partir do 6º mês o produto terá 70% ou mais do mercado.
Alternativa correta: (não se aplica).