Em relação à classificação dos vetores como LI ou LD são apresentadas as afirmativas a seguir. Faça a análise de cada uma delas e, logo a seguir, assinale a alternativa correta. I – O conjunto de vetores do \(\mathbb{R}^3\), \(\{\vec{v}_1=(1;0;0),\ \vec{v}_2=(2;3;0),\ \vec{v}_3=(5;1;1)\}\) é LI, pois ao resolvermos a igualdade \((0;0;0)=a\,\vec{v}_1+b\,\vec{v}_2+c\,\vec{v}_3\) encontraremos somente e exclusivamente \(a=0,\ b=0,\ c=0\). II – O trio de vetores do \(\mathbb{R}^2\) apresentado por \(\vec{v}_1=(2;3),\ \vec{v}_2=(5;4)\) e \(\vec{v}_3=(1;1)\) é LD, pois se resolvermos a igualdade \((0;0)=a\,\vec{v}_1+b\,\vec{v}_2+c\,\vec{v}_3\) vamos encontrar infinitos valores para \(a,\ b\) e \(c\) que a satisfazem. III – Os vetores \(\vec{v}_1=(1;-1;-2),\ \vec{v}_2=(2;1;1)\) e \(\vec{v}_3=(-1;0;3)\), pertencentes ao \(\mathbb{R}^3\), formam um grupo LI. IV – Quando no \(\mathbb{R}^3\) tivermos um conjunto unitário de vetores, onde o vetor presente for diferente do vetor nulo, ele será obrigatoriamente LI. Em relação às afirmativas acima, podemos dizer que:

Vamos analisar cada afirmativa.

I) (\mathbb{R}^3): (v_1=(1,0,0),\ v_2=(2,3,0),\ v_3=(5,1,1))

Para verificar LI, resolvemos [(0,0,0)=a v_1+b v_2+c v_3.] Escrevendo por coordenadas:

• 1ª: (a+2b+5c=0)
• 2ª: (0\cdot a+3b+1\cdot c=0 \Rightarrow 3b+c=0)
• 3ª: (0\cdot a+0\cdot b+1\cdot c=0 \Rightarrow c=0) De (c=0) vem (3b+0=0\Rightarrow b=0). E então (a+0+0=0\Rightarrow a=0). Logo, a única solução é a trivial, então o conjunto é LI. Afirmativa I é verdadeira.

II) (\mathbb{R}^2): três vetores (v_1=(2,3),\ v_2=(5,4),\ v_3=(1,1))

Em (\mathbb{R}^2), qualquer conjunto com 3 vetores é necessariamente LD (pois a dimensão do espaço é 2). Equivalentemente: ao montar [(0,0)=a v_1+b v_2+c v_3,] teremos 2 equações e 3 incógnitas, logo o sistema é indeterminado e haverá soluções não triviais (infinitas). Portanto, a afirmativa II é verdadeira.

III) (\mathbb{R}^3): (v_1=(1,-1,-2),\ v_2=(2,1,1),\ v_3=(-1,0,3))

Verificamos LI calculando o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas (ou linhas). Usando como colunas: [ A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\ -1 & 1 & 0\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix} ] Determinante (expansão na 1ª linha): [ \det(A)=1\cdot\begin{vmatrix}1&0\1&3\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix}-1&0\-2&3\end{vmatrix}+(-1)\cdot\begin{vmatrix}-1&1\-2&1\end{vmatrix}. ] Calculando os menores:

• (\begin{vmatrix}1&0\1&3\end{vmatrix}=1\cdot 3-0\cdot 1=3)
• (\begin{vmatrix}-1&0\-2&3\end{vmatrix}=(-1)\cdot 3-0\cdot(-2)=-3)
• (\begin{vmatrix}-1&1\-2&1\end{vmatrix}=(-1)\cdot 1-1\cdot(-2)=-1+2=1) Então: [ \det(A)=1\cdot 3-2\cdot(-3)+(-1)\cdot 1=3+6-1=8\neq 0. ] Como o determinante é diferente de zero, os vetores são LI. Afirmativa III é verdadeira.

IV) Conjunto unitário em (\mathbb{R}^3)

Um conjunto com um único vetor ({v}), com (v\neq 0), é LI, pois [a v=0 \Rightarrow a=0] (já que vetor não nulo não pode ser anulado por escalar diferente de zero). Logo, a afirmativa IV é verdadeira.

Conclusão

I, II, III e IV são verdadeiras.

Alternativa correta: (c).