A figura destaca, na cor cinza, uma região do plano cartesiano que é limitada por duas circunferências centradas na origem, uma com raio 3 e a outra com raio 8. A região destacada na figura é formada pelos pontos (x,y) que satisfazem, concomitantemente, às seguintes inequações:

Questão

A figura destaca, na cor cinza, uma região do plano cartesiano que é limitada por duas circunferências centradas na origem, uma com raio 3 e a outra com raio 8. A região destacada na figura é formada pelos pontos (x,y) que satisfazem, concomitantemente, às seguintes inequações:

Imagem 1

Diagrama: duas circunferências concêntricas centradas na origem com raios 3 e 8; eixos coordenados x e y; região sombreada está entre as duas circunferências nos quadrantes II (x<0,y>0) e IV (x>0,y<0).

Alternativas

Resposta certa

A) 9 ≤ x^2 + y^2 ≤ 64 e x·y ≤ 0.

B) 3 ≤ x^2 + y^2 ≤ 8 e x·y ≤ 0.

C) 9 ≤ x^2 + y^2 ≤ 64 e x·y ≥ 0.

D) 3 ≤ x^2 + y^2 ≤ 8 e x·y ≥ 0.

E) 9 ≤ x^2 + y^2 ≤ 64 e x·y ≤ 0.

Explicação

Pela figura, a região cinza é um “anel” centrado na origem, limitado pelas circunferências de raios 3 e 8.

  1. Condição de estar entre as duas circunferências A distância do ponto (x,y)(x,y) à origem é r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2}. Estar entre os raios 3 e 8 significa 3≤r≤8.3 \le r \le 8. Elevando ao quadrado: 32≤x2+y2≤82  ⇒  9≤x2+y2≤64.3^2 \le x^2+y^2 \le 8^2 \;\Rightarrow\; 9 \le x^2+y^2 \le 64.

  2. Condição dos quadrantes sombreados A região está nos quadrantes II (x<0, y>0)(x<0,\,y>0) e IV (x>0, y<0)(x>0,\,y<0), ou seja, xx e yy têm sinais opostos (ou algum deles pode ser zero sobre os eixos). Isso equivale a x⋅y≤0.x\cdot y \le 0.

Juntando as duas condições, obtemos: 9≤x2+y2≤649 \le x^2+y^2 \le 64 e xy≤0xy \le 0.

circunferenciageometria-analiticainequacoesmatematica
Carregando…

Questões relacionadas

Ver últimas questões