O lucro referente à produção e venda de q unidades de certo produto é dado por L(q) = -4q^2 + 1000q - 12000 reais, para q variando entre 0 e 180 unidades. Segundo tal função, qual é o valor máximo de lucro que pode ser obtido?

A função lucro é uma parábola: [ L(q)=-4q^2+1000q-12000, ] com $a=-4<0$, portanto ela tem máximo no vértice.

1. Coordenada $q$ do vértice: [ q_v=\frac{-b}{2a}=\frac{-1000}{2\cdot(-4)}=\frac{-1000}{-8}=125. ] Como o domínio é $0\le q\le 180$, e $125\in[0,180]$, esse ponto é válido.

2. Lucro máximo: [ L(125)=-4\cdot125^2+1000\cdot125-12000. ] Calculando:

• $125^2=15625$
• $-4\cdot15625=-62500$
• $1000\cdot125=125000$

Então: [ L(125)=-62500+125000-12000=62500-12000=50500. ] Logo, o lucro máximo é R$ 50.500,00.

Alternativa correta: (E).