Dado o polinômio do 2º grau P(x) = x^2 - (k - 1)x + k. Sabe-se que esse polinômio possui duas raízes reais e distintas, e que a soma dos inversos dessas raízes é igual a 5/6. Qual o valor de k?

Sejam $r_1$ e $r_2$ as raízes reais e distintas de $P(x)=x^2-(k-1)x+k.$ Pelas relações de Viète:

• Soma das raízes: $r_1+r_2 = k-1$.
• Produto das raízes: $r_1r_2 = k$.

A soma dos inversos é: $\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}=\frac{r_1+r_2}{r_1r_2}.$ Dado que isso vale $\frac{5}{6}$, temos: $\frac{k-1}{k} = \frac{5}{6}.$ Resolvendo: $6(k-1)=5k \Rightarrow 6k-6=5k \Rightarrow k=6.$

Verificação das raízes reais e distintas: o discriminante é $\Delta = (-(k-1))^2 - 4\cdot 1\cdot k = (k-1)^2-4k = k^2-6k+1.$ Para $k=6$: $\Delta = 36-36+1=1>0,$ logo há duas raízes reais e distintas, como pedido.

Alternativa correta: (C).