Temos cinco urnas, cada uma com seis bolas. Duas dessas urnas (tipo C1) têm 3 bolas brancas; outras (tipo C2) têm 2 bolas brancas; e a última urna (tipo C3) tem 6 bolas brancas. Escolhemos uma urna ao acaso e dela retiramos uma bola. Qual a probabilidade de a urna escolhida ser do tipo C3, sabendo-se que a bola sorteada é branca?

Queremos $P(C3\mid B)$, onde $B$ = “bola branca”. Use Bayes:

$P(C3\mid B)=\frac{P(B\mid C3)P(C3)}{P(B)}.$

Como a urna é escolhida ao acaso entre 5 urnas:

• $P(C1)=\frac{2}{5}$ (duas urnas C1), e $P(B\mid C1)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
• $P(C2)=\frac{2}{5}$ (duas urnas C2), e $P(B\mid C2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
• $P(C3)=\frac{1}{5}$ (uma urna C3), e $P(B\mid C3)=\frac{6}{6}=1$.

Então, pela probabilidade total: \begin{align*} P(B) &= P(B\mid C1)P(C1)+P(B\mid C2)P(C2)+P(B\mid C3)P(C3)\ &= \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}+\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{5}+1\cdot\frac{1}{5}\ &= \frac{1}{5}+\frac{2}{15}+\frac{1}{5}=\frac{8}{15}. \end{align*}

Agora Bayes: \begin{align*} P(C3\mid B) &= \frac{1\cdot \frac{1}{5}}{\frac{8}{15}}=\frac{1}{5}\cdot\frac{15}{8}=\frac{3}{8}=0{,}375=37{,}5%. \end{align*}

Alternativa correta: (E).