Tendo o conhecimento de funções compostas, sabemos que o domínio de algumas funções são a imagem de outras, ou seja, uma função composta H(x) pode ser dada por H(x) = f(g(x)). Muitas funções desse tipo são transcendentes, o que significa que não possuem formulação algébrica. Dado que se f(x) = sen(x), f'(x) = cos(x), e considerando seus conhecimentos sobre a regra da cadeia para derivação de funções compostas, analise as afirmativas a seguir. I. A derivada de f(x) = (x+2)^2 é 2x + 4. II. A função H(x) = f(g(x)), onde f(x) = sen(x) e g(x) = x^2 + x, tem derivada H'(x) = (2x+1)*cos(x^2+x). III. Para derivar funções transcendentes basta aplicar as regras para derivadas de funções polinomiais. IV. A derivada de f(f(x)) é igual a cos^2(x)sen(x). Está correto apenas o que se afirma em:

Analisando cada afirmativa:

I. $f(x)=(x+2)^2\Rightarrow f'(x)=2(x+2)\cdot 1=2x+4$. Verdadeira.

II. $H(x)=\sen(g(x))$ com $g(x)=x^2+x$. Pela regra da cadeia: $H'(x)=\cos(g(x))\cdot g'(x)=\cos(x^2+x)\cdot (2x+1)=(2x+1)\cos(x^2+x).$ Verdadeira.

III. Funções transcendentes (como seno, cosseno, exponencial, logaritmo) não são tratadas apenas com regras de derivadas polinomiais; é preciso usar regras específicas e, muitas vezes, regra da cadeia. Falsa.

IV. Para $f(x)=\sen(x)$, temos $f(f(x))=\sen(\sen x)$. Derivando: $\frac{d}{dx}\sen(\sen x)=\cos(\sen x)\cdot \cos x.$ Isso não é $\cos^2(x)\sen(x)$. Falsa.

Logo, está correto apenas o que se afirma em I e II.