b) Résolvez AX = B avec B = (1,2,3)^T. Precisamos resolver: [[-1,-4,-7],[1,-2,-5],[3,0,-3]] · (x,y,z)^T = (1,2,3)^T
Questão
b) Résolvez AX = B avec B = (1,2,3)^T. Precisamos resolver:
[[-1,-4,-7],[1,-2,-5],[3,0,-3]] · (x,y,z)^T = (1,2,3)^T
Imagem 1
Matriz A 3×3 com linhas (-1, -4, -7), (1, -2, -5), (3, 0, -3) e vetor-coluna X = (x, y, z)^T igualado ao vetor-coluna B = (1, 2, 3)^T.
Resposta
92%Explicação
O sistema é:
-x-4y-7z=1\\ x-2y-5z=2\\ 3x-3z=3 \end{cases}$$ Da 3ª equação: $3x-3z=3 \Rightarrow x-z=1 \Rightarrow x=1+z$. Substituindo na 2ª: $$(1+z)-2y-5z=2 \Rightarrow 1-2y-4z=2 \Rightarrow -2y-4z=1 \Rightarrow y=-\tfrac{1}{2}-2z.$$ Substituindo $x=1+z$ e $y=-\tfrac{1}{2}-2z$ na 1ª: $$-(1+z)-4\left(-\tfrac{1}{2}-2z\right)-7z=1.$$ Calculando: $$-1-z+2+8z-7z=1 \Rightarrow 1+0\cdot z=1,$$ ou seja, a 1ª equação é redundante e há infinitas soluções (1 parâmetro). Tomando $z=t$, obtemos: $$x=1+t,\quad y=-\tfrac{1}{2}-2t,\quad z=t.$$ Para obter uma solução particular simples, escolha $t=-1$, então: $$x=0,\ y=\tfrac{3}{4},\ z=-\tfrac{1}{4}.$$ (Verificação rápida: $A\,(0,\tfrac34,-\tfrac14)^T=(1,2,3)^T$.)