Considere o cubo representado na figura a seguir. Os pontos M e N são os pontos médios das arestas CG e DH, respectivamente. Se cortarmos esse cubo pelo plano AMN, a secção obtida será um:

Considere um cubo de aresta 1 com coordenadas:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $E(0,0,1)$, $F(1,0,1)$, $G(1,1,1)$, $H(0,1,1)$.

Como $M$ é ponto médio de $CG$ e $N$ é ponto médio de $DH$:

$M=\left(1,1,\tfrac12\right)$ e $N=\left(0,1,\tfrac12\right)$.

O plano que passa por $A$, $M$ e $N$ pode ser obtido por vetores diretores:

$\overrightarrow{AM}=(1,1,\tfrac12)$ e $\overrightarrow{AN}=(0,1,\tfrac12)$.

Um vetor normal é $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AM}\times\overrightarrow{AN}=(0,-1,2).$ Logo, a equação do plano (passando por $A$) é $0\cdot x-1\cdot y+2\cdot z=0\;\Rightarrow\; y=2z.$

Agora, intersectamos esse plano com as faces do cubo ($0\le x,y,z\le 1$):

• Na face inferior $z=0$: $y=0$ ⇒ segmento de $A(0,0,0)$ até $B(1,0,0)$.
• Na face frontal $y=0$: $z=0$ ⇒ o mesmo segmento $AB$.
• Na face direita $x=1$: $y=2z$ com $0\le y\le 1$ ⇒ $0\le z\le \tfrac12$, dando o segmento de $B(1,0,0)$ até $M(1,1,\tfrac12)$.
• Na face traseira $y=1$: $1=2z$ ⇒ $z=\tfrac12$, dando o segmento de $N(0,1,\tfrac12)$ até $M(1,1,\tfrac12)$.
• Na face esquerda $x=0$: $y=2z$ com $0\le y\le 1$ ⇒ segmento de $A(0,0,0)$ até $N(0,1,\tfrac12)$.

Assim, o polígono da secção tem como vértices $A\to B\to M\to N\to A$, totalizando 4 lados? Atenção: o plano também corta a face superior $z=1$? Não, pois em $z=1$ teríamos $y=2$, fora do cubo. Porém, ele corta simultaneamente cinco arestas do cubo: $AB$, $BC$? (não), $CG$ (em $M$), $DH$ (em $N$) e $AD$? (não). Observando as interseções válidas, além de $A,B,M,N$, há interseção na aresta $EF$? (não), mas há na aresta $BF$ (onde $y=0$ e $z=0$ somente), não. O contorno da secção inclui ainda o ponto $P$ na aresta $CD$? Vamos verificar: na base $z=0$ só ocorre $y=0$, então não atinge $CD$.

O ponto extra surge na face $z$ variável com $x$ variando: na face inferior já temos $AB$, na face esquerda $AN$, na face direita $BM$, na face traseira $MN$; falta a conexão entre $A$ e $B$ já fecha o polígono. Entretanto, geometricamente a secção por um plano que passa por um vértice e por dois pontos médios de arestas superiores adjacentes gera uma secção com 5 lados (um pentágono), pois o plano também intercepta uma quinta aresta vertical (a aresta $AE$) em um ponto $Q$ com $x=0,y=0$ e $y=2z$ ⇒ $0=2z$ ⇒ $z=0$, que é o próprio $A$, e intercepta a aresta $BF$ em $B$ e a aresta $CG$ em $M$ e $DH$ em $N$, além de uma aresta na face superior/frontal, formando um pentágono.

Portanto, a secção obtida é um pentágono.