Considere o conjunto W formado pelos vetores v do espaço R^3 tais que v = (x, y, 2) com x, y ∈ R. São feitas as afirmações abaixo em relação ao conjunto W. I – Podemos considerar o conjunto W como um espaço vetorial. II – W não pode ser considerado um espaço vetorial pois não é fechado em relação às operações de soma e produto por um escalar. III – Os vetores u = (2, -1, 2) e t = (3, 1, 2) pertencentes a W justificam que o mesmo não é um espaço vetorial. Podemos então afirmar que:

Temos $W=\{(x,y,2)\in\mathbb{R}^3\mid x,y\in\mathbb{R}\},$ ou seja, é o conjunto de todos os vetores de $\mathbb{R}^3$ cujo terceiro componente é fixo e igual a 2.

Para $W$ ser um espaço vetorial (subespaço de $\mathbb{R}^3$ com as operações usuais), ele deve conter o vetor nulo e ser fechado por soma e por multiplicação por escalar.

(I) “Podemos considerar $W$ como um espaço vetorial.”

• O vetor nulo de $\mathbb{R}^3$ é $(0,0,0)$, mas $(0,0,0)\notin W$ porque em $W$ o terceiro componente deve ser $2$.
• Logo, $W$ não é espaço vetorial. Portanto, a afirmação I é falsa.

(II) “$W$ não pode ser considerado um espaço vetorial pois não é fechado em relação às operações de soma e produto por um escalar.”

• Não é fechado por soma: pegue $(x_1,y_1,2)$ e $(x_2,y_2,2)$ em $W$. $(x_1,y_1,2)+(x_2,y_2,2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;4).$ O terceiro componente vira $4$, então esse vetor não pertence a $W$.
• Não é fechado por escalar: por exemplo, $2\cdot(x,y,2)=(2x,2y,4)\notin W$. Logo, a afirmação II é verdadeira.

(III) “Os vetores $u=(2,-1,2)$ e $t=(3,1,2)$ pertencentes a $W$ justificam que o mesmo não é um espaço vetorial.”

• De fato, $u,t\in W$ (terceiro componente é 2).
• Mas $u+t=(2,-1,2)+(3,1,2)=(5,0,4),$ e $(5,0,4)\notin W$.
• Isso mostra que $W$ não é fechado para soma, logo não é espaço vetorial. Portanto, a afirmação III é verdadeira.

Conclusão: II e III são verdadeiras, e I é falsa.

Alternativa correta: (e).