Considere V como sendo o R^2 e W um subconjunto de V de tal forma que W é definido da seguinte forma: W = { (x,y) ∈ R^2 / y = 2x }. Podemos então afirmar que:

Temos $V=\mathbb{R}^2$ e

$$W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=2x\}.$$

Esse conjunto é a reta que passa pela origem com direção $(1,2)$, pois qualquer elemento de $W$ pode ser escrito como

$$(x,y)=(x,2x)=x\,(1,2).$$

Vamos verificar as condições de subespaço:

1. Vetor nulo pertence a $W$: o vetor $(0,0)$ satisfaz $0=2\cdot 0$, então $(0,0)\in W$.

2. Fechamento para a soma: se $(x_1,y_1)\in W$ e $(x_2,y_2)\in W$, então $y_1=2x_1$ e $y_2=2x_2$. Logo,

$$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\,y_1+y_2)=(x_1+x_2,\,2x_1+2x_2)=(x_1+x_2,\,2(x_1+x_2))\in W.$$

3. Fechamento para multiplicação por escalar: se $(x,y)\in W$ com $y=2x$ e $\alpha\in\mathbb{R}$, então

$$\alpha(x,y)=(\alpha x,\,\alpha y)=(\alpha x,\,\alpha\cdot 2x)=(\alpha x,\,2(\alpha x))\in W.$$

Como contém o vetor nulo e é fechado por soma e por produto por escalar, $W$ é subespaço vetorial de $\mathbb{R}^2$.