Ao estudar cálculo diferencial e integral, vemos que essas duas operações são inversas. Ou seja, tendo uma função f(x), a integral de sua derivada f’(x) é a própria f(x). A esta constatação damos o nome de Teorema Fundamental do Cálculo. Já fisicamente, a derivada significa uma taxa de variação, ou seja, um coeficiente angular de uma reta tangente à curva em um dado ponto da função, enquanto a integral representa a área sob a curva do gráfico da função em um intervalo definido. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre o Teorema Fundamental do Cálculo e as propriedades de derivação e integração, analise as afirmativas a seguir. I. A integral da terceira derivada de i(x) = e^(2x) + 3x^2 + sen(x) é igual a 4e^(2x) + 6 − sen(x). II. Ao integrarmos oito vezes a função g(x) = x^3 + 2 e, após isso, derivarmos a expressão obtida por 9 vezes, obtemos uma nova função que intercepta o gráfico na origem. III. A derivada de h(x) = cos(2x) é igual a −4sen(x)cos(x). IV. A integral da função f(x) = x^2 + 2x + 1 é igual a x^3 + 2x^2 + x. Está correto apenas o que se afirma em:

Analisando cada afirmativa:

I. $i(x)=e^{2x}+3x^2+\sen(x)$

• $i'(x)=2e^{2x}+6x+\cos(x)$
• $i''(x)=4e^{2x}+6-\sen(x)$
• $i'''(x)=8e^{2x}-\cos(x)$

Logo, $\int i'''(x)\,dx=\int(8e^{2x}-\cos x)\,dx=4e^{2x}-\sen x +C$ A afirmação diz que é $4e^{2x}+6-\sen(x)$ (falta a constante $C$ e o termo $+6$ não aparece). Falsa.

II. $g(x)=x^3+2e$. Integrar 8 vezes e depois derivar 9 vezes equivale, no resultado final, a derivar 1 vez a função original (pois $D^9(I^8(g))=D(g)$; as constantes de integração desaparecem ao derivar). Assim, a função final é $g'(x)=3x^2,$ que passa pela origem: $g'(0)=0$, logo intercepta o gráfico no ponto $(0,0)$. Verdadeira.

III. $h(x)=\cos(2x)$. Pela regra da cadeia: $h'(x)=-\sen(2x)\cdot 2=-2\sen(2x).$ Usando $\sen(2x)=2\sen(x)\cos(x)$: $h'(x)=-2\cdot 2\sen(x)\cos(x)=-4\sen(x)\cos(x).$ Verdadeira.

IV. $\int (x^2+2x+1)\,dx=\frac{x^3}{3}+x^2+x+C,$ não $x^3+2x^2+x$. Falsa.

Corretas apenas II e III.