Num torneio, no qual cada participante enfrenta todos os outros participantes apenas uma vez, são jogadas 45 partidas. Quantos são os participantes?

Em um torneio em que cada participante enfrenta cada outro exatamente uma vez, o número de partidas é o número de pares distintos que podem ser formados com $n$ participantes:

$\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$

Dado que foram jogadas 45 partidas:

$\frac{n(n-1)}{2}=45 \Rightarrow n(n-1)=90 \Rightarrow n^2-n-90=0$

Fatorando:

$n^2-n-90=(n-10)(n+9)=0$

Logo, $n=10$ (descartamos $n=-9$ por não fazer sentido no problema).