Geometria Analítica: Na figura está representado um cubo, [ABCDEFGH]. Fixado um referencial o.n. Oxyz, sabe-se que A(-2, 0, 1), B(-2, 2, 3) e G(-2, 0, 5). Qual das opções representa um vetor com a direção da reta AF?

1. Num cubo [ABCDEFGH], os pontos A, B e C pertencem a uma mesma face, e os pontos E, F, G, H à face paralela. Além disso, F está “acima” de B (isto é, $\overrightarrow{BF}$ é uma aresta vertical do cubo).

2. Dados:

• $A(-2,0,1)$
• $B(-2,2,3)$
• $G(-2,0,5)$

3. Como $G$ está “acima” de $C$, e $F$ está “acima” de $B$, o vetor vertical do cubo é o mesmo em $\overrightarrow{CG}$ e em $\overrightarrow{BF}$. Numa face, vale $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AB}$. Logo, $\overrightarrow{AB}=B-A=(0,2,2).$ Portanto, $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AB}=(0,2,2).$

4. Então o vetor vertical é: $\overrightarrow{CG}=G-C \Rightarrow C=G-\overrightarrow{CG}=(-2,0,5)-(0,2,2)=(-2,-2,3).$

5. Agora, numa face do cubo, $\overrightarrow{BC}=C-B$ é uma aresta perpendicular a $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{BC}=(-2,-2,3)-(-2,2,3)=(0,-4,0).$ Assim, a direção da aresta $\overrightarrow{AD}$ (paralela a $\overrightarrow{BC}$) é a de $(0,-4,0)$, isto é, equivalente a $(0,-1,0)$.

6. O ponto $F$ é obtido a partir de $B$ somando o vetor vertical (aresta): O vetor vertical pode ser obtido por $\overrightarrow{AG}=G-A=(0,0,4)$, e numa rotulagem usual do cubo, $\overrightarrow{BF}$ é paralelo a $\overrightarrow{AG}$. Logo, $F=B+\overrightarrow{AG}=(-2,2,3)+(0,0,4)=(-2,2,7).$

7. Vetor diretor de $AF$: $\overrightarrow{AF}=F-A=(-2,2,7)-(-2,0,1)=(0,2,6).$ Qualquer múltiplo não nulo serve como direção; simplificando por 2: $(0,1,3).$

8. Comparando com as opções, nenhuma é colinear com $(0,2,6)$ (por exemplo, A) é $(0,1,-1)$, que não é múltiplo).

Como a questão exige escolher uma das alternativas, a única opção que mantém $x=0$ (compatível com $x_F=x_A=-2$ se o movimento for apenas em $y$ e $z$) é a alternativa A, mas isso não coincide com o cálculo vetorial obtido; portanto há inconsistência nos dados/rotulagem do cubo ou nas opções.

Alternativa correta: (A).