Dado o polinômio do 2º grau P(x) = x^2 − (k − 1) x + k. Sabe-se que esse polinômio possui duas raízes reais e distintas, e que a soma dos inversos dessas raízes é igual a 5/6. Qual o valor de k?

Sejam $r_1$ e $r_2$ as raízes reais e distintas de [ P(x)=x^2-(k-1)x+k. ] Pelas relações de Viète, para $ax^2+bx+c$ temos:

• $r_1+r_2=-\dfrac{b}{a}$
• $r_1r_2=\dfrac{c}{a}$

Aqui, $a=1$, $b=-(k-1)$ e $c=k$. Logo, [ r_1+r_2 = -\frac{-(k-1)}{1}=k-1 ] [ r_1r_2 = \frac{k}{1}=k. ]

A soma dos inversos é [ \frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}=\frac{r_1+r_2}{r_1r_2}. ] Dado que ela vale $\frac{5}{6}$: [ \frac{k-1}{k}=\frac{5}{6} \Rightarrow 6(k-1)=5k \Rightarrow 6k-6=5k \Rightarrow k=6. ]

Porém, precisamos também que existam duas raízes reais e distintas, então o discriminante deve ser positivo: [ \Delta=b^2-4ac=(-(k-1))^2-4\cdot1\cdot k=(k-1)^2-4k=k^2-6k+1. ] Para $k=6$: [ \Delta=36-36+1=1>0, ] logo as raízes são reais e distintas e a condição é satisfeita.

Alternativa correta: (C).