O estudo dos autovalores e autovetores pode ser empregado por outras áreas da Matemática na resolução de problemas que envolvam equações relacionadas a funções e suas respectivas taxas de variação, por exemplo, processo este que pode ser estudado com o auxílio da álgebra de matrizes. Nesse contexto, seja a transformação linear definida a seguir: T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 T(x,y) = (x + 2y, x). Em relação a essa transformação linear, analise as seguintes afirmações: I. A matriz associada a essa transformação é dada por: T_B = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix}. II. A expressão do polinômio característico a ser empregado na determinação dos autovalores e autovetores associados à transformação T é p_T(\lambda) = \lambda^2 - \lambda - 2. III. Os autovetores associados ao autovalor \lambda = -1 são da forma (x, -x), com x \in \mathbb{R}. Está correto o que se afirma em:

Para analisar as afirmações, vamos obter a matriz de $T$ na base canônica e então calcular autovalores/autovetores.

1) Matriz associada (base canônica) Temos $T(x,y)=(x+2y,\,x)$. Logo:

• $T(1,0)=(1,1)$
• $T(0,1)=(2,0)$

A matriz de $T$ (colunas = imagens dos vetores da base canônica) é $A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 1 & 0\end{pmatrix}.$ A afirmação I diz que a matriz é $\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$, o que não confere.

✅ I é falsa.

2) Polinômio característico Calculamos $p(\lambda)=\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 2\\ 1 & -\lambda\end{pmatrix}.$ Então $p(\lambda)=(1-\lambda)(-\lambda)-2\cdot 1=-(\lambda-\lambda^2)-2=\lambda^2-\lambda-2.$ Isso coincide com a afirmação II.

✅ II é verdadeira.

3) Autovetores para $\lambda=-1$ Resolvemos $(A-(-1)I)v=(A+I)v=0$: $A+I=\begin{pmatrix}1&2\\1&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\1&1\end{pmatrix}.$ O sistema é $2x+2y=0$ e $x+y=0$, isto é, $y=-x$. Logo os autovetores são da forma $(x,-x)$, $x\in\mathbb{R}$ (com $x\neq 0$ para ser autovetor não nulo).

✅ III é verdadeira.

Conclusão: verdadeiras são II e III. Como as alternativas disponíveis são apenas “I, apenas” e “III, apenas”, a única compatível é:

Alternativa correta: (B).