Um comitê de 10 pessoas deve ser formado a partir de oito arquitetos e seis engenheiros. Se a seleção for feita aleatoriamente, determine: a) O espaço amostral do experimento; b) A probabilidade de o comitê ser formado por seis arquitetos e quatro engenheiros.

O experimento consiste em escolher aleatoriamente 10 pessoas dentre 14 disponíveis (8 arquitetos e 6 engenheiros), e cada comitê (subconjunto de 10 pessoas) é um resultado possível.

a) Espaço amostral O espaço amostral $\Omega$ é o conjunto de todos os comitês de 10 pessoas formados a partir das 14. Como a ordem não importa, o total de resultados é uma combinação: $|\Omega|=\binom{14}{10}=\binom{14}{4}=\frac{14\cdot 13\cdot 12\cdot 11}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=1001.$

b) Probabilidade de sair 6 arquitetos e 4 engenheiros

• Número de maneiras de escolher 6 arquitetos dentre 8: $\binom{8}{6}$.
• Número de maneiras de escolher 4 engenheiros dentre 6: $\binom{6}{4}$. Pelo princípio multiplicativo, o número de comitês favoráveis é: $N_f=\binom{8}{6}\binom{6}{4}.$ A probabilidade (casos favoráveis / casos possíveis) é: $P=\frac{\binom{8}{6}\binom{6}{4}}{\binom{14}{10}}.$ Calculando:
• $\binom{8}{6}=\binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28$.
• $\binom{6}{4}=\binom{6}{2}=\frac{6\cdot 5}{2}=15$. Logo: $P=\frac{28\cdot 15}{1001}=\frac{420}{1001}.$ Simplificando por 7: $\frac{420}{1001}=\frac{60}{143}\approx 0{,}4196.$

Alternativa correta: (sem alternativas).