Calcule a derivada da função f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^3}

Questão

Calcule a derivada da função f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^3}

Imagem 1

f(x)=\frac{x^2-1}{x^3}

Alternativas

A) f'(x) = \frac{-x^4 + 3x^2}{x^6}

97%

B) f'(x) = \frac{-2x^3 + 3x}{5}

C) f'(x) = \frac{2x^3 + x}{x^7}

D) f'(x) = \frac{-x^2 + 3x^2}{x^3}

Explicação

Temos [ f(x)=\frac{x^2-1}{x^3}=\frac{x^2}{x^3}-\frac{1}{x^3}=x^{-1}-x^{-3}. ] Derivando termo a termo (regra da potência):

  • ddx(x−1)=−x−2\dfrac{d}{dx}(x^{-1})=-x^{-2}
  • ddx(−x−3)=−(−3)x−4=3x−4\dfrac{d}{dx}(-x^{-3})= -(-3)x^{-4}=3x^{-4}

Logo, [ f'(x)=-x^{-2}+3x^{-4}. ] Colocando no mesmo denominador x4x^4: [ f'(x)=\frac{-x^2}{x^4}+\frac{3}{x^4}=\frac{-x^2+3}{x^4}. ] Escrevendo com denominador x6x^6 para comparar com as alternativas: [ \frac{-x^2+3}{x^4}=\frac{x^2(-x^2+3)}{x^6}=\frac{-x^4+3x^2}{x^6}. ] Isso coincide com a alternativa A.

Alternativa correta: (A).

calculoderivadasfuncoes-racionaismatematica

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