Calcule a derivada da função f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^3}

Temos

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x^3}=\frac{x^2}{x^3}-\frac{1}{x^3}=x^{-1}-x^{-3}.$$

Derivando termo a termo (regra da potência):

• $\dfrac{d}{dx}(x^{-1})=-x^{-2}$
• $\dfrac{d}{dx}(-x^{-3})= -(-3)x^{-4}=3x^{-4}$

Logo,

$$f'(x)=-x^{-2}+3x^{-4}.$$

Colocando no mesmo denominador $x^4$:

$$f'(x)=\frac{-x^2}{x^4}+\frac{3}{x^4}=\frac{-x^2+3}{x^4}.$$

Escrevendo com denominador $x^6$ para comparar com as alternativas:

$$\frac{-x^2+3}{x^4}=\frac{x^2(-x^2+3)}{x^6}=\frac{-x^4+3x^2}{x^6}.$$

Isso coincide com a alternativa A.