Calcule a derivada da função f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{3}}

Temos

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x^3}=\frac{x^2}{x^3}-\frac{1}{x^3}=x^{-1}-x^{-3}.$$

Derivando termo a termo (regra da potência):

• $\frac{d}{dx}(x^{-1})=-x^{-2}$
• $\frac{d}{dx}(-x^{-3})= -(-3)x^{-4}=3x^{-4}$

Logo,

$$f'(x)=-x^{-2}+3x^{-4}.$$

Colocando em uma única fração:

$$-x^{-2}+3x^{-4}= -\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}=\frac{-x^2+3}{x^4}.$$

Multiplicando numerador e denominador por $x^2$ para comparar com as alternativas:

$$\frac{-x^2+3}{x^4}=\frac{(-x^2+3)x^2}{x^6}=\frac{-x^4+3x^2}{x^6}.$$

Isso coincide com a alternativa A.