Calcule a derivada da função f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{3}}

Questão

Calcule a derivada da função f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{3}}

Alternativas

A) f'(x) = \frac{-x^{4} + 3x^{2}}{x^{6}}

97%

B) f'(x) = \frac{-2x^{3} + 3x}{5}

C) f'(x) = \frac{2x^{3} + x}{x^{7}}

D) f'(x) = \frac{-x^{2} + 3x^{2}}{x^{3}}

Explicação

Temos [ f(x)=\frac{x^2-1}{x^3}=\frac{x^2}{x^3}-\frac{1}{x^3}=x^{-1}-x^{-3}. ] Derivando termo a termo (regra da potência):

  • ddx(x−1)=−x−2\frac{d}{dx}(x^{-1})=-x^{-2}
  • ddx(−x−3)=−(−3)x−4=3x−4\frac{d}{dx}(-x^{-3})= -(-3)x^{-4}=3x^{-4}

Logo, [ f'(x)=-x^{-2}+3x^{-4}. ] Colocando em uma única fração: [ -x^{-2}+3x^{-4}= -\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4}=\frac{-x^2+3}{x^4}. ] Multiplicando numerador e denominador por x2x^2 para comparar com as alternativas: [ \frac{-x^2+3}{x^4}=\frac{(-x^2+3)x^2}{x^6}=\frac{-x^4+3x^2}{x^6}. ] Isso coincide com a alternativa A.

Alternativa correta: (A).

calculoderivadasmatematica

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