Determine as frações das seguintes dízimas periódicas.

Para transformar uma dízima periódica em fração, usamos a técnica de multiplicar por potências de 10 para “alinhar” o período e subtrair.

A) $0,777\ldots$ Seja $x=0,777\ldots$ Então $10x=7,777\ldots$ Subtraindo: $10x-x=7,777\ldots-0,777\ldots\Rightarrow 9x=7\Rightarrow x=\frac{7}{9}$.

B) $3,888\ldots$ Seja $x=3,888\ldots$ Então $10x=38,888\ldots$ Subtraindo: $9x=35\Rightarrow x=\frac{35}{9}$.

C) $6,2777\ldots$ (parte não periódica: 2; período: 7) Seja $x=6,2777\ldots$ Multiplicando para eliminar a parte não periódica (1 casa): $10x=62,777\ldots$ Agora alinhando o período (mais 1 casa): $100x=627,777\ldots$ Subtraindo: $100x-10x=627,777\ldots-62,777\ldots\Rightarrow 90x=565\Rightarrow x=\frac{565}{90}=\frac{113}{18}$.

D) $5,83333\ldots$ (parte não periódica: 8; período: 3) Seja $x=5,83333\ldots$ Eliminando a parte não periódica (1 casa): $10x=58,3333\ldots$ Alinhando o período (mais 1 casa): $100x=583,3333\ldots$ Subtraindo: $100x-10x=583,3333\ldots-58,3333\ldots\Rightarrow 90x=525\Rightarrow x=\frac{525}{90}=\frac{35}{6}$.

F) $12,3454545\ldots$ (parte não periódica: 3; período: 45) Seja $x=12,3454545\ldots$ Eliminando a parte não periódica (1 casa): $10x=123,454545\ldots$ Alinhando o período (mais 2 casas): $1000x=12345,454545\ldots$ Subtraindo: $1000x-10x=12345,454545\ldots-123,454545\ldots\Rightarrow 990x=12222\Rightarrow x=\frac{12222}{990}=\frac{679}{55}$.

Portanto, as frações são:

• A) $\frac{7}{9}$
• B) $\frac{35}{9}$
• C) $\frac{113}{18}$
• D) $\frac{35}{6}$
• F) $\frac{679}{55}$