Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe \(\lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^2 - x^2}{h}\)

Queremos calcular

$$\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}.$$

1. Expanda o quadrado:

$$(x+h)^2=x^2+2xh+h^2.$$

2. Subtraia $x^2$ no numerador:

$$(x^2+2xh+h^2)-x^2=2xh+h^2.$$

3. Fatora $h$:

$$2xh+h^2=h(2x+h).$$

4. Simplifique com o denominador (para $h\neq 0$):

$$\frac{h(2x+h)}{h}=2x+h.$$

5. Agora tome o limite quando $h\to 0$:

$$\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x.$$