Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe: \(\displaystyle\lim_{r\to 1}\frac{r^2-r}{2r^2+5r-7}\)

Queremos calcular $\lim_{r\to 1}\frac{r^2-r}{2r^2+5r-7}.$

1. Fatorando o numerador: $r^2-r=r(r-1).$

2. Fatorando o denominador. Note que em $r=1$ temos $2(1)^2+5(1)-7=0$, então $(r-1)$ é fator. Vamos dividir/fatorar: $2r^2+5r-7=(r-1)(2r+7).$

3. Simplificando e calculando o limite: $\frac{r(r-1)}{(r-1)(2r+7)}=\frac{r}{2r+7},\quad r\neq 1.$ Assim, $\lim_{r\to 1}\frac{r}{2r+7}=\frac{1}{2\cdot 1+7}=\frac{1}{9}.$