Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe: lim_{r→1} \left(\dfrac{r^2 - r}{2r^2 + 5r - 7}\right)

Queremos calcular $\lim_{r\to 1}\left(\frac{r^2-r}{2r^2+5r-7}\right).$

1. Fatorando o numerador: $r^2-r=r(r-1).$

2. Fatorando o denominador $2r^2+5r-7$. Procuramos dois números cujo produto seja $2\cdot(-7)=-14$ e cuja soma seja $5$: $7$ e $-2$. Então: \begin{align*} 2r^2+5r-7 &= 2r^2+7r-2r-7 \ &= r(2r+7)-1(2r+7) \ &= (2r+7)(r-1). \end{align*}

3. Substituindo na fração e simplificando o fator comum $(r-1)$ (para $r\neq 1$): $\frac{r(r-1)}{(2r+7)(r-1)}=\frac{r}{2r+7}.$

4. Agora podemos fazer o limite por substituição direta: $\lim_{r\to 1}\frac{r}{2r+7}=\frac{1}{2\cdot 1+7}=\frac{1}{9}.$