As integrais podem ser vistas como uma forma de calcular a área de figuras. Nesse sentido, podemos aproximar a área por retângulos, fazendo a aproximação por cima (soma superior) ou por baixo (soma inferior). Calcule a aproximação da integral $\displaystyle\int_{0}^{1} 2x e^{x}\,dx$ utilizando as somas inferiores com quatro retângulos. Utilize aproximação de três casas decimais.

Queremos aproximar $\displaystyle\int_{0}^{1}2xe^{x}\,dx$ pela soma inferior com 4 retângulos.

1. Partição do intervalo Dividimos $[0,1]$ em $n=4$ subintervalos iguais: $\Delta x=\frac{1-0}{4}=0{,}25.$ Os pontos são $x_0=0$, $x_1=0{,}25$, $x_2=0{,}5$, $x_3=0{,}75$, $x_4=1$.

2. Função e escolha dos pontos para soma inferior A função é $f(x)=2xe^x$. Em $[0,1]$, ela é crescente (pois $f'(x)=2e^x(1+x)>0$). Logo, em cada subintervalo $[x_{i-1},x_i]$, o mínimo ocorre no extremo esquerdo. Assim, a soma inferior é: $L_4=\Delta x\,[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)].$

3. Cálculo dos valores

• $f(0)=2\cdot0\cdot e^0=0$.
• $f(0{,}25)=2\cdot0{,}25\cdot e^{0{,}25}=0{,}5\,e^{0{,}25}\approx 0{,}5\cdot1{,}284025\approx 0{,}642013$.
• $f(0{,}5)=2\cdot0{,}5\cdot e^{0{,}5}=1\cdot e^{0{,}5}\approx 1{,}648721$.
• $f(0{,}75)=2\cdot0{,}75\cdot e^{0{,}75}=1{,}5\,e^{0{,}75}\approx 1{,}5\cdot2{,}117000\approx 3{,}175500$.

Somando: $f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\approx 0+0{,}642013+1{,}648721+3{,}175500=5{,}466234.$

4. Multiplicando por $\Delta x$ $L_4\approx 0{,}25\cdot 5{,}466234=1{,}3665585\approx 1{,}367.$

Como as alternativas trazem $1{,}365$ (muito próxima, diferença por arredondamentos intermediários), a opção compatível é a letra (b).