Dados os vetores \(\vec{u}=(4,2,-3)\) e \(\vec{v}=(1,0,2)\), obtenha um vetor \(\vec{w}\) ortogonal aos vetores \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\).

Para obter um vetor $\vec{w}$ ortogonal a $\vec{u}=(4,2,-3)$ e $\vec{v}=(1,0,2)$, podemos calcular o produto vetorial:

$$\vec{w}=\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 4 & 2 & -3\\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$$

Calculando:

• Componente em $\vec{i}$: $2\cdot 2 - (-3)\cdot 0 = 4$
• Componente em $\vec{j}$: $-\big(4\cdot 2 - (-3)\cdot 1\big) = -(8+3) = -11$
• Componente em $\vec{k}$: $4\cdot 0 - 2\cdot 1 = -2$

Logo, $\vec{w}=(4,-11,-2)$.

Verificando ortogonalidade (produto escalar):

$$\vec{u}\cdot\vec{w}=4\cdot 4 + 2\cdot(-11) + (-3)\cdot(-2)=16-22+6=0$$ $$\vec{v}\cdot\vec{w}=1\cdot 4 + 0\cdot(-11) + 2\cdot(-2)=4+0-4=0$$

Assim, $\vec{w}$ é ortogonal a $\vec{u}$ e a $\vec{v}$.