Dados os vetores \(\vec{u}=(4,2,-3)\) e \(\vec{v}=(1,0,2)\), obtenha um vetor \(\vec{w}\) ortogonal aos vetores \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\).

Para obter um vetor (\vec{w}) ortogonal a (\vec{u}=(4,2,-3)) e (\vec{v}=(1,0,2)), podemos calcular o produto vetorial:

[ \vec{w}=\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\ 4 & 2 & -3\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} ]

Calculando:

• Componente em (\vec{i}): (2\cdot 2 - (-3)\cdot 0 = 4)
• Componente em (\vec{j}): (-\big(4\cdot 2 - (-3)\cdot 1\big) = -(8+3) = -11)
• Componente em (\vec{k}): (4\cdot 0 - 2\cdot 1 = -2)

Logo, (\vec{w}=(4,-11,-2)).

Verificando ortogonalidade (produto escalar): [ \vec{u}\cdot\vec{w}=4\cdot 4 + 2\cdot(-11) + (-3)\cdot(-2)=16-22+6=0 ] [ \vec{v}\cdot\vec{w}=1\cdot 4 + 0\cdot(-11) + 2\cdot(-2)=4+0-4=0 ]

Assim, (\vec{w}) é ortogonal a (\vec{u}) e a (\vec{v}).

Alternativa correta: (C).