Uma empresa tem 12 funcionários, dos quais 5 são mulheres e 7 são homens. A direção precisa formar uma comissão de 4 membros com a condição de que pelo menos 2 mulheres façam parte da comissão. O número de comissões distintas que podem ser formadas nas condições dadas é igual a:

Queremos formar uma comissão de 4 pessoas dentre 12 (5 mulheres e 7 homens), com a condição de pelo menos 2 mulheres.

Vamos separar por casos, conforme o número de mulheres na comissão:

Caso 1: exatamente 2 mulheres e 2 homens

• Escolher 2 mulheres dentre 5: $\binom{5}{2}$
• Escolher 2 homens dentre 7: $\binom{7}{2}$
• Total: $\binom{5}{2}\binom{7}{2} = 10 \cdot 21 = 210$

Caso 2: exatamente 3 mulheres e 1 homem

• Escolher 3 mulheres dentre 5: $\binom{5}{3}$
• Escolher 1 homem dentre 7: $\binom{7}{1}$
• Total: $\binom{5}{3}\binom{7}{1} = 10 \cdot 7 = 70$

Caso 3: exatamente 4 mulheres e 0 homens

• Escolher 4 mulheres dentre 5: $\binom{5}{4}$
• Total: $\binom{5}{4} = 5$

Somando os casos válidos: $210 + 70 + 5 = 285.$

Logo, o número de comissões distintas possíveis é 285.