Cálculo: Encontre a velocidade de uma partícula no instante t = 2 se o vetor posição da partícula é r(t) = t^3 i − e^t j + 4t k, em unidades de metros. Assinale a alternativa que contém a resposta correta.

A velocidade vetorial é a derivada do vetor posição:

$\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)$.

Dado $\mathbf{r}(t)=t^{3}\,\mathbf{i}-e^{t}\,\mathbf{j}+4t\,\mathbf{k}$,

derivando componente a componente:

• $\frac{d}{dt}(t^3)=3t^2$
• $\frac{d}{dt}(-e^t)=-e^t$
• $\frac{d}{dt}(4t)=4$

Logo, $\mathbf{v}(t)=3t^2\,\mathbf{i}-e^{t}\,\mathbf{j}+4\,\mathbf{k}$.

No instante $t=2$: $\mathbf{v}(2)=12\,\mathbf{i}-e^{2}\,\mathbf{j}+4\,\mathbf{k}$.

A questão pede a velocidade (módulo do vetor velocidade):

$|\mathbf{v}(2)|=\sqrt{12^2+(-e^2)^2+4^2}=\sqrt{144+e^4+16}=\sqrt{160+e^4}$.

Como $e^2\approx 7{,}389$, então $e^4\approx (7{,}389)^2\approx 54{,}6$.

Assim, $|\mathbf{v}(2)|\approx \sqrt{160+54{,}6}=\sqrt{214{,}6}\approx 14{,}65\ \text{m/s}$.

Alternativa correta: (C).