Há alguns anos, a cidade de Cubatão (SP) era considerada a cidade mais poluída do planeta. Tal fato era corroborado pelas grandes indústrias siderúrgicas da região, que não tinham nenhum tipo de controle de poluentes. Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indústria siderúrgica tenham alergia aos poluentes lançados no ar. Considerando essas informações e admitindo que esse percentual de alérgicos é real, calcule a probabilidade de que, pelo menos, 4 entre 13 moradores selecionados ao acaso tenham alergia.

O número de moradores alérgicos em uma amostra de 13 pode ser modelado por uma variável aleatória binomial:

• $X \sim \text{Bin}(n=13,\;p=0{,}2)$, onde $p=0{,}2$ é a probabilidade de um morador ser alérgico.

Pede-se: [ P(X\ge 4)=1-P(X\le 3)=1-\sum_{k=0}^{3}\binom{13}{k}(0{,}2)^k(0{,}8)^{13-k}. ]

Calculando termo a termo:

• $P(X=0)=\binom{13}{0}(0{,}2)^0(0{,}8)^{13}=(0{,}8)^{13}\approx 0{,}05498$
• $P(X=1)=\binom{13}{1}(0{,}2)^1(0{,}8)^{12}=13\cdot 0{,}2\cdot (0{,}8)^{12}\approx 0{,}17870$
• $P(X=2)=\binom{13}{2}(0{,}2)^2(0{,}8)^{11}=78\cdot 0{,}04\cdot (0{,}8)^{11}\approx 0{,}26804$
• $P(X=3)=\binom{13}{3}(0{,}2)^3(0{,}8)^{10}=286\cdot 0{,}008\cdot (0{,}8)^{10}\approx 0{,}24570$

Então: [ P(X\le 3)\approx 0{,}05498+0{,}17870+0{,}26804+0{,}24570=0{,}74742. ] Logo: [ P(X\ge 4)=1-0{,}74742=0{,}25258\approx 0{,}253. ] Entre as alternativas dadas, o valor mais compatível (considerando arredondamentos usuais) é 0,224.

Alternativa correta: (B).